Exercice 1

Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l'intervalle [-1 ; 1].
On note Gk le barycentre du système .

1. Représenter les points A, B, C, le milieu de I de [BC] et construire les points G1 et G-1.
2. a. Montrer que pour tout réel k de l'intervalle [-1 ; 1], on a l'égalité :

.
b. Etablir le tableau de variation de la fonction définie sur [-1 ; 1] par .
c. En déduire l'ensemble des points Gk quand k décrit l'intervalle [-1 ; 1].

Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie.

3. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :
.

4.Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :
.

5. L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal . Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (-1 ; 2 ; 1) et (-1 ; 2 ; 5).
Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci dessus.

1. Calculer les coordonnées de G1 et G-1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.
2. Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F.

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct [ unité graphique : 6 cm ].

On considère la suite (a n) de nombres réels définie par et pour tout entier naturel n, . Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l'angle ait pour mesure a n.

1.Placer les douze points M0, M1, M2, ..., M11.

2. On appelle zn l'affixe de Mn. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité:
.

3. a. Montrer que pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
- les points Mn et Mn + 6 sont diamétralement opposés ;
- les points Mn et Mn + 12 sont confondus.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité . En déduire que la distance Mn Mn + 4 vaut puis que le triangle Mn Mn + 4 Mn + 8 est équilatéral.

On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn + 4 Mn + 8.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1, M2, ..., M11, sont disposés dans une urne.
On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.

Problème

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct . Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

A - ETUDE D'UNE FONCTION f

On définit la fonction f sur par

1. Calculer les limites de f en 0 et en .

2. Etudier le sens de variation de f sur .

3. Soit C la courbe représentative de f dans et A le point de C d'abscisse 3
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de C d'abscisse , P le projeté orthogonal de B sur l'axe et H le projeté orthogonal de B sur l'axe .

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère et représenter la courbe C.

B - UTILISATION D'UNE ROTATION

Soit r la rotation de centre O et d'angle . A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point M' d'affixe z'.

1.a. Donner z' en fonction de z.

On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x,y,x',y' réels), exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.

b. Déterminer les coordonnées des points A', B' et P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans le repère .

a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à C, son image M' par r appartient à .
On admet que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit .

b. Tracer sur le graphique précédent les points A', B', P' et la courbe (l'étude des variations de g n'est pas demandée).

C - CALCUL D'INTEGRALES

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

1. Calculer l'intégrale . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2.a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments , et et l'arc de courbe C d'extrémités B et A.

b. On pose
Trouver une relation entre A et puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale .

Spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;) [unité graphique : 6 cm].
On considère la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :

et on définit une suite de points () de la manière suivante:

a pour affixe et pour tout entier naturel =). On appelle l'affixe de .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de . Placer les points , , .
2. Montrer que pour tout entier naturel , on a l'égalité :
   
   ( on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p, montrer que deux points Mn et Mp sont confondus si et seulement si (n - p) est multiple de 12.

4.
a On considère l'équation (E) : 12x - 5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4, 9) est solution, résoudre l'équation (E).

b En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite [Ox).