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Introduction
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La
seconde est une classe de détermination. Pour que l’élève puisse définir son
orientation, il doit avoir pris conscience de la diversité de l'activité
mathématique. Chercher, trouver des résultats partiels, se poser des
questions, appliquer des techniques bien comprises, étudier une démonstration
qu'on n'aurait pas trouvée soi-même, expliquer oralement une démarche,
rédiger au brouillon puis au propre, etc., sont quelques-uns des aspects de
cette activité. Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les
travaux proposés à la classe ; parmi ceux-ci, les travaux écrits faits à
la maison restent absolument essentiels à toute progression de l'élève.
L'utilité
et la pérennité des mathématiques ne sont pas à prouver. Néanmoins, il faut
que chaque élève, à son niveau, puisse faire l'expérience personnelle de
l'efficacité des concepts mathématiques et de la simplification que permet la
maîtrise de l'abstraction. Il doit, pour cela, pouvoir prendre le temps de
faire des mathématiques, de bâtir un ensemble cohérent de connaissances et
d'accéder au plaisir de la découverte et à l'expérience de la compréhension.
Le
programme qui suit est écrit dans le cadre d'une seconde de détermination. Il
est composé de trois grands chapitres : statistique, calcul et
fonctions, géométrie. Pour chaque chapitre, les capacités attendues, en
nombre volontairement limité, constituent la base commune sur laquelle se
fonderont les programmes des années ultérieures. De plus, un ensemble de
thèmes d’études est proposé, dans lequel l’enseignant pourra puiser au gré du
questionnement et des motivations de ses élèves ; ces thèmes, entourant
le contenu du chapitre, permettent de faire vivre l’enseignement au-delà de
l’évaluation sur les capacités attendues et de prendre en compte dans une
certaine mesure l'hétérogénéité des classes. L'enseignant a toute liberté
pour choisir les thèmes au-delà de ces propositions.
À
titre indicatif, le temps à consacrer aux différents chapitres pourrait être
de 1/8 pour les statistiques, le reste se répartissant équitablement entre
les deux autres chapitres.L'informatique, devenue aujourd'hui absolument
incontournable, permet de rechercher et d'observer des lois expérimentales
dans deux champs naturels d'application interne des mathématiques : les
nombres et les figures du plan et de l'espace. Cette possibilité
d'expérimenter, classiquement plus propre aux autres disciplines, doit ouvrir
largement la dialectique entre l'observation et la démonstration, et, sans
doute à terme, changer profondément la nature de l’enseignement. Il est ainsi
nécessaire de familiariser le plus tôt possible les élèves avec certains
logiciels ; en seconde l'usage de logiciels de géométrie est
indispensable. Un des apports majeurs de l'informatique réside aussi dans la
puissance de simulation des ordinateurs ; la simulation est ainsi
devenue une pratique scientifique majeure : une approche en est proposée
dans le chapitre statistique.
Chaque
chapitre est l'occasion de constater l'économie de pensée qu'apportent des
notations adaptées et d'éprouver la nécessité d'avoir à ce propos des
conventions claires. Le développement de l’argumentation et l'entraînement à
la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. À
l'issue de la seconde, l'élève devra avoir acquis une expérience lui
permettant de détacher les principes de la logique formelle de ceux de la
logique du langage courant, et, par exemple, à dissocier implication
mathématique et causalité.
Le
programme est une trame à partir de laquelle le professeur construit son
enseignement. Il ne doit pas perdre de vue que, par le choix des exemples
traités et de la progression suivie, par le vocabulaire imagé employé, par sa
manière personnelle de raconter l'histoire de certaines idées, il transmet
une image des mathématiques importante pour l'avenir de ses élèves.
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Statistique
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Rappel des
programmes antérieurs :
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Sixième
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Cinquième
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Exemples conduisant à lire et établir
des relevés statistiques sous forme de tableaux ou de représentations
graphiques,
éventuellement en utilisant un ordinateur.
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Lecture, interprétation, représentations graphiques de séries
statistiques.
Diagrammes à barres, diagrammes circulaires.
Classes, effectifs.
Fréquences.
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Quatrième
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Troisième
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Effectifs cumulés, fréquences cumulées.
Moyennes pondérées.
Initiation à l'usage des tableurs-grapheurs.
Valeur approchée de la moyenne d'une série statistique regroupée en classes
d'intervalles.
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Caractéristiques de position d'une série statistique.
Approche de caractéristiques de dispersion d'une série statistique.
Initiation à l'utilisation des tableurs-grapheurs en statistique.
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En seconde le travail sera centré sur :
– la réflexion conduisant au choix de résumés numériques d'une série
statistique quantitative ;
– la notion de fluctuation d'échantillonnage vue ici sous l'aspect
élémentaire de la variabilité de la distribution des fréquences ;
– la simulation à l'aide du générateur aléatoire d'une calculatrice. La
simulation remplaçant l'expérimentation permet, avec une grande économie de
moyens, d'observer des résultats associés à la réalisation d'un très grand
nombre d'expériences. On verra ici la diversité des situations simulables à
partir d'une liste de chiffres.
L'enseignant traitera des données en nombre suffisant pour que cela justifie
une étude statistique ; il proposera des sujets d'étude et des
simulations en fonction de l'intérêt des élèves, de l'actualité et de ses
goûts.
La notion de fluctuation d'échantillonnage et de simulation ne doit pas faire
l'objet d'un cours. L'élève pourra se faire un « cahier de statistique »
où il consignera une grande partie des traitements de données et des
expériences de simulation qu'il fait, des raisons qui conduisent à faire des
simulations ou traiter des données, l'observation et la synthèse de ses
propres expériences et de celles de sa classe. Ce cahier sera complété en
première et terminale et pourra faire partie des procédures d'évaluation
annuelle.
En classe de première
et de terminale,
dans toutes les filières, on réfléchira sur la synthèse des données à l'aide
du couple moyenne, écart-type qui sera vu à propos de phénomènes aléatoires
gaussiens et par moyenne ou médiane et intervalle inter-quartile sinon. On
amorcera une réflexion sur le problème de recueil des données et la notion de
preuve statistique ; on fera un lien entre statistique et probabilité.
L'enseignement de la statistique sera présent dans toutes les filières mais
sous des formes diverses.
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Contenus
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Capacité attendues
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Commentaires
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Résumé
numérique par une ou plusieurs mesures de tendance centrale (moyenne,
médiane, classe modale, moyenne élaguée) et une mesure de dispersion (on se
restreindra en classe de seconde à l'étendue).
Définition
de la distribution des fréquences d'une série prenant un petit nombre de
valeurs et de la fréquence d'un événement.
Simulation
et fluctuation d'échantillonnage.
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Utiliser les propriétés de linéarité de la moyenne d'une série
statistique.
Calculer la moyenne d'une série à partir des moyennes de sous-groupes.
Calcul de la moyenne à partir de la distribution des fréquences.
Concevoir et mettre en œuvre des simulations simples à partir
d'échantillons de chiffres au hasard.
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L'objectif est de faire réfléchir les élèves sur la nature des
données traitées, et de s'appuyer sur des représentations graphiques pour
justifier un choix de résumé.
On peut commencer à utiliser le symbole .
On commentera quelques cas où la médiane et la moyenne diffèrent
sensiblement.
On remarquera que la médiane d'une série ne peut se déduire de la médiane
de sous-séries. Le calcul de la médiane nécessite de trier les données,
ce qui pose des problèmes de nature algorithmique.
La touche « random » d'une calculatrice pourra être présentée
comme une procédure qui, chaque fois qu'on l'actionne, fournit une liste
de n chiffres (composant la partie décimale du nombre affiché). Si on
appelle la procédure un très grand nombre de fois, la suite produite sera
sans ordre ni périodicité et les fréquences des dix chiffres seront
sensiblement égales.
Chaque élève produira des simulations de taille n (n allant de 10 à 100
suivant les cas) à partir de sa calculatrice ; ces simulations
pourront être regroupées en une simulation ou plusieurs simulations de
taille N, après avoir constaté la variabilité des résultats de chacune
d'elles. L'enseignant donnera alors éventuellement les résultats de
simulations de même taille N préparées à l'avance et obtenues à partir de
simulations sur ordinateurs.
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Calcul et
fonctions
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Rappel des
programmes antérieurs
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Sixième
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Cinquième
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Nombres et calcul numérique.
Écriture décimale et opérations + - x.
Division par un entier et valeur approchée.
Écritures fractionnaires du quotient de 2 entiers.
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Expressions numériques.
Produit de deux fractions.
Comparaison, somme et différence
de deux fractions.
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Calcul littéral
Substitution de valeurs numériques dans une formule.
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k(a + b) ; k ( a x b)
Test par substitution de valeurs dans une expression littérale.
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Application d'un pourcentage.
Étude de situations relevant ou non de la proportionnalité.
Lecture et réalisation de tableaux, de graphiques.
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Mouvement uniforme.
Reconnaissance et mise en œuvre de la proportionnalité.
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Quatrième
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Troisième
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Opérations sur les relatifs en écriture décimale ou fractionnaire.
Puissance d'un exposant entier ou relatif.
Touches , cos, 1/x de
la calculatrice.
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Calculs comportant des radicaux.
Exemples d'algorithmes simples ; application numérique sur ordinateur.
Fractions irréductibles.
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Développement d'expressions.
Effets sur l'ordre de + et de x.
Équations du premier degré.
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Factorisation (identités).
Problèmes se ramenant au 1er degré.
Systèmes d'équations à 2 inconnues.
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Vitesse moyenne.
Applications de la proportionnalité.
Initiation à l'usage de tableurs-grapheurs.
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Effet d'une réduction, d'un agrandissement sur des aires et des
volumes.
Fonctions linéaires et affines
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Objectifs
– Approfondir la
connaissance des différents types de nombres.
– Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul, étude qualitative),
la notion de fonction.
– Étudier quelques fonctions de références, préparant à l'analyse.
– Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de
technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de
démonstration.
– Utiliser de façon raisonnée et efficace la calculatrice pour les calculs et
pour les graphiques.
La plupart de ces
objectifs concernent les trois années de lycée.
Le calcul numérique et le calcul algébrique ne doivent pas constituer un
chapitre de révision systématique, mais se retrouvent au travers des
différents chapitres. En particulier, ils seront traités en relation étroite
avec l'étude des fonctions. Comme la géométrie, les activités de calcul
doivent être l'occasion de développer le raisonnement et l'activité de
démonstration.
Lors de la résolution de problèmes, on dégagera, pour certains exemples
étudiés, les différentes phases du traitement : mathématisation et mise
en équation, résolution, contrôle de la cohérence des résultats et
exploitation.
On exploitera les possibilités offertes par les tableurs, par les grapheurs
et par les logiciels de géométrie.
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Contenus
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Capacités attendues
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Commentaires
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Nature
et écriture des nombres.
Notations (N, Z, D, Q, R).
Représentation des nombres dans une calculatrice.
Nombres premiers.
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Distinguer un nombre d'une de ses valeurs approchées.
Interpréter un résultat donné par une calculatrice.
Organiser un calcul à la main ou à la machine.
Décomposer un entier en produit de nombres premiers.
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On admettra que l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses
des points d'une droite.
On travaillera sur les ordres de grandeur.
On donnera un ou deux exemples de limites d'utilisation d'une
calculatrice.
On fera quelques manipulations de nombres en écriture scientifique.
On se limitera à des exemples (du type 56 x 67) pour lesquels la
connaissance des tables de multiplication suffit.
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Ordre
des nombres.
Valeur absolue d'un nombre.
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Choisir un critère adapté pour comparer des nombres.
Comparer a, a2 et a3 lorsque a est positif.
Caractériser les éléments d'un intervalle et le représenter.
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La valeur absolue d'un nombre permet de parler facilement de la
distance entre deux nombres.
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Fonctions.
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Identifier la variable et son ensemble de définition pour une
fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule.
Déterminer, dans chacun des cas, l'image d'un nombre.
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On étudiera des situations issues, entre autres, de la géométrie,
de la physique, de l'actualité ou de problèmes historiques.
On réfléchira sur les expressions être fonction de et dépendre
de dans le langage courant et en mathématiques. On donnera des
exemples de dépendance non fonctionnelle (poids et taille, note au bac et
moyenne de l'année).
Les fonctions abordées ici sont généralement des « fonctions
numériques d'une variable réelle » pour lesquelles l'ensemble de
définition est donné. On pourra voir quelques exemples de fonctions
définies sur un ensemble fini ou même de fonctions à deux variables (aire
en fonction des dimensions). L'utilisation de calculatrice ou
d'ordinateur amènera à considérer une fonction comme un dispositif
capable de produire une valeur numérique quand on introduit un nombre
(c'est-à-dire comme une « boîte noire »).
Les notations f(x), déjà introduite au collège, et f
seront systématiquement utilisées. Il importe d'être progressif dans
l'utilisation de ces écritures : le passage du nombre f(x)
à l'objet mathématique « fonction » noté f est difficile
et demande un temps de maturation individuelle qui peut dépasser la
classe de seconde.
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Étude
qualitative de fonctions.
Fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d'une
fonction sur un intervalle.
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Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations,
le comportement d'une fonction définie par une courbe.
Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de
variation.
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S'il s'agit des courbes, on distinguera celles pour lesquelles,
par convention, l'information sur les variations est exhaustive, de
celles obtenues sur un écran graphique.
La perception sur un graphique de symétries ou de périodicité pourra conduire
à une formulation analytique de ces propriétés.
On soulignera le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre, tandis
qu'une fonction décroissante renverse l'ordre ; une définition
formelle est ici attendue.
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Premières
fonctions de références.
Fonctions
linéaires et fonctions affines.
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D'autres fonctions telles que  ... pourront
être découvertes à l'occasion de problèmes. Les résultats les concernant
pourront être admis.
Les positions relatives des diverses courbes ainsi découvertes seront
observées et admises.
La définition de sin x et cos x pour un réel x quelconque
se fera en « enroulant  » sur le cercle trigonométrique.
On fera le lien avec les sinus et cosinus de 30°, 45° et 60°.
Exemples de non-linéarité. En particulier, on fera remarquer que
les fonctions carré, inverse... ne sont pas linéaires.
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Fonctions
et formules algébriques.
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Reconnaître la forme d'une expression algébrique (somme, produit,
carré, différence de deux carrés).
Identifier l'enchaînement des fonctions conduisant de x à f(x)
quand f est donnée par une formule. Reconnaître différentes
écritures d'une même expression et choisir la forme la plus adaptée au
travail demandé (forme réduite, factorisée, …)
Modifier une expression, la développer, la réduire selon l'objectif
poursuivi.
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Les activités de calcul doivent être l'occasion de raisonner et de
démontrer. On évitera une activité trop mécanique et on s'efforcera de
développer, avec des expressions littérales faisant intervenir une seule
lettre, deux plus rarement, des stratégies s'appuyant sur l'observation,
l'anticipation et l'intelligence du calcul. On multipliera les approches
et on explicitera quelques procédures simples permettant d'infirmer ou de
confirmer une formule. À l'occasion de certains travaux sur tableur, on
distinguera la recherche et l'observation d'une loi empirique de la
démonstration d'une formule.
Des activités liées aux fonctions, aux équations ou aux inéquations
mettront en valeur l'information donnée par la forme d'une expression et
motiveront la recherche d'une écriture adaptée.
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Mise
en équation ; résolution algébrique, résolution graphique d'équations
et d'inéquations.
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Résoudre une équation ou une inéquation se ramenant au premier
degré.
Utiliser un tableau de signes pour résoudre une inéquation ou déterminer
le signe d'une fonction. Résoudre graphiquement des équations ou inéquations
du type :
f(x) = k ; f(x) < k; f(x) = g(x) ; f(x) < g(x)…
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Pour un même problème, on combinera les apports des modes de
résolution graphique et algébrique.
On précisera les avantages et les limites de ces différents modes de
résolution. On pourra utiliser les graphiques des fonctions de référence
et leurs positions relatives.
On ne s'interdira pas de donner un ou deux exemples de problème conduisant
à une équation qu'on ne sait pas résoudre algébriquement et dont on
cherchera des solutions approchées.
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Géométrie
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Rappel des programmes
antérieurs
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Sixième
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Cinquième
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Parallélépipède rectangle : description, représentation et
patrons.
Dans le plan, transformation de figures par symétrie axiale :
construction d'../images, construction de figures simples ayant un axe de
symétrie, énoncé de propriétés.
Reproduction de figures planes simples.
Abscisses positives sur une droite graduée. Repérage dans le plan
par des entiers relatifs.
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Prismes droits, cylindres de révolution : description,
représentation et patrons.
Dans le plan, transformation de figures par symétrie centrale.
Parallélogramme : caractérisation angulaire du parallélisme.
Cercle circonscrit.
Repérage sur une droite graduée
et dans le plan.
Somme des angles d'un triangle, inégalité triangulaire. Aire du
parallélogramme, du triangle, du disque.
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Quatrième
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Troisième
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Pyramide et cône de révolution.
Translation.
Milieux et parallèles dans un triangle,
triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux
sécantes ; droites remarquables.
Cercle et triangle rectangle.
Alignement de points et proportionnalité
Distance d'un point à une droite
et tangente à un cercle.
Pythagore et sa réciproque.
Cosinus d'un angle aigu.
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Sections d'une sphère, d'un cube, d'un parallélépipède rectangle,
d'un cône de révolution, d'une pyramide dans des cas simples.
Polygones réguliers.
Transformation de figures par rotation ;
composition de symétries centrales
ou de translation.
Théorème de Thalès et réciproque.
Vecteurs : somme de 2 vecteurs.
Coordonnées du milieu d'un segment, d'un vecteur ; distance de
deux points à partir de leurs coordonnées.
Relations trigonométriques dans un triangle rectangle.
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Objectifs
Deux objectifs principaux
sont assignés à cette partie du programme :
– développer la vision dans l'espace ;
– proposer aux élèves des problèmes utilisant pleinement les acquis de
connaissances et de méthodes faits au collège. Pour dynamiser la synthèse et
éviter les révisions systématiques, trois éclairages nouveaux sont
proposés : les triangles isométriques, les triangles de même forme et
des problèmes d'aires.
Le calcul vectoriel et
analytique est limité au minimum : entretien des acquis du collège ;
utilisation en physique. Aucune notion nouvelle sur les transformations n'est
envisagée.
On utilisera les possibilités qu'offrent les logiciels de géométrie.
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Contenus
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Capacités attendues
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Commentaires
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Géométrie
dans l'espace.
Positions relatives de droites et plans : règles d'incidence.
Orthogonalité d'une droite et d'un plan.
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Manipuler, construire, représenter des solides.
Effectuer des calculs simples de longueur, aire ou volume.
Connaître les positions relatives de droites et plans de l'espace.
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On mettra en œuvre les capacités attendues sur un ou deux
exemples : construction d'un patron, représentation en perspective
cavalière, dessin avec un logiciel de construction géométrique, calcul de
longueurs, d'aires ou de volumes.
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Les
configurations du plan.
Triangles
isométriques, triangles de même forme.
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Utiliser, pour résoudre des problèmes, les configurations et les
transformations étudiées en collège, en argumentant à l'aide de
propriétés identifiées.
Reconnaître des triangles isométriques.
Reconnaître des triangles de même forme.
Résoudre des problèmes mettant en jeu formes et aires.
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Les problèmes seront choisis de façon
– à inciter à la diversité des points de vue, dans un cadre théorique
volontairement limité ;
– à poursuivre l'apprentissage d'une démarche déductive ;
– à conduire vers la maîtrise d'un vocabulaire logique adapté
(implication, équivalence, réciproque, etc.).
À partir de la construction d'un triangle caractérisé par certains de ses
côtés ou de ses angles, on introduira la notion de triangles
isométriques. On pourra observer que deux triangles isométriques le sont
directement ou non.
On pourra utiliser la définition suivante : « Deux triangles
ont la même forme si les angles de l'un sont égaux aux angles de
l'autre. » (Il s'agit donc de triangles semblables.) On
caractérisera ensuite, grâce au théorème de Thalès, deux triangles de
même forme par l'existence d'un coefficient d'agrandissement-réduction.
Rapport entre les aires de deux triangles de même forme.
Pour des formes courantes (équilatéral, demi-carré, demi-équilatéral), on
fera le lien avec les sinus et cosinus des angles remarquables.
On s'interrogera sur la notion de forme pour d'autres figures de base
(rectangle, quadrilatère, quelconque…).
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Repérage
dans le plan.
Les
vecteurs du plan.
Multiplication d'un vecteur par un réel.
Équations de droites.
Système d'équations linéaires.
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Repérer des points d'un plan, des cases d'un réseau carré ou
rectangulaire ; interpréter les cartes et les plans.
Un repère étant fixé, exprimer la colinéarité de deux vecteurs ou
l'alignement de trois points.
Caractériser analytiquement une droite .
Reconnaître que deux droites sont parallèles.
Déterminer le nombre de solutions d'un système de deux équations à deux
inconnues.
Résoudre des problèmes conduisant à de tels systèmes.
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On pourra réfléchir aux avantages des divers types de repérage. On
fera le lien avec le repérage des cellules d'un tableur. On évoquera, en
comparant les repérages sur la droite, dans le plan (voire sur la sphère
ou dans l'espace), la notion de dimension.
On n'utilisera le calcul vectoriel que pour faciliter le repérage
des points, justifier le calcul de coordonnées et caractériser des
alignements.
On démontrera que toute droite a une équation soit de la forme y = mx + p
, soit de la forme x = c.
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Thèmes
d'étude
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Pour chacun des
chapitres, le professeur choisira, pour l'ensemble des élèves ou pour
certains seulement en fonction de leurs centres d'intérêt, un ou plusieurs
thèmes d'étude dans la liste ci-dessous.
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Statistique
– Simulations d'un
sondage ; à l'issue de nombreuses simulations, pour des échantillons de
taille variable, on pourra introduire la notion de fourchette de sondage,
sans justification théorique. La notion de niveau de confiance 0,95 de la
fourchette peut être introduite en terme de « chances » (il y a 95
chances sur 100 pour que la fourchette contienne la proportion que l'on
cherche à estimer) ; on pourra utiliser les formules des fourchettes aux
niveaux 0,95, 0,90 et 0,99 pour une proportion observée voisine de 0,5 afin
de voir qu'on perd en précision ce qu'on gagne en niveau de confiance. On
incitera les élèves à connaître l'approximation usuelle de la fourchette au
niveau de confiance 0,95, issue d'un sondage sur n individus (n>30) dans
le cas où la proportion observée  est comprise entre 0,3 et 0,7, à
savoir :  .
– Simulations de jeux de
pile ou face : distribution de fréquences du nombre maximum de coups
consécutifs égaux dans une simulation de 100 ou 200 lancers de pièce
équilibrée ; distribution de fréquences du gain sur un jeu d'au plus dix
parties où on joue en doublant la mise (ou en la triplant) tant qu'on n'a pas
gagné. On pourra aussi faire directement l'expérience avec des pièces pour
bien faire sentir la notion de simulation...
– Simulation du lancer de
deux dés identiques et distribution de la somme des faces. On pourra aussi
faire directement l'expérience avec des dés pour bien faire sentir la notion
de simulation...
– Simulations de
promenades aléatoires sur des solides ou des lignes polygonales, fluctuation
du temps et estimation du temps mis pour traverser un cube, ou pour aller
d'un sommet donné à un autre sommet donné d'une ligne polygonale.
– Simulation de
naissances : distribution du nombre d'enfants par famille d'au plus
quatre enfants lorsqu'on s'arrête au premier garçon, en admettant que pour
chaque naissance, il y a autant de chances que ce soit un garçon qu'une
fille.
Calcul et fonctions
– Calculatrices et grands
nombres.
– Étude détaillée d'un
exemple concret de fonction (tarifs téléphoniques, montant de l'impôt en
fonction du revenu) : lecture de texte, représentation graphique,
variations.
– Sur tableur,
explicitation des différentes étapes du calcul d'une formule en appliquant
d'une colonne à l'autre une seule opération (+, -, x, /, carré, ...). Explicitation de l'enchaînement des
fonctions conduisant de x à f(x). Recherche de la
formule permettant de passer de la cellule donnant f(x) à la
valeur de la cellule recevant x.
– Problèmes historiques
sur les nombres, irrationalité de  , crible d'Ératosthène...
– Croissance et fonction
du temps. Suite de données annuelles : mesure absolue f(t +
1) - f(t) et mesure relative (coefficient multiplicateur)
 . On observera que l'évolution relative
n'est pas visible sur un graphique à graduation régulière.
– Construction, prévision
des variations de la somme ou différence de fonctions données par leurs
représentations graphiques (on pourra se servir de la demi-somme, plus facile
à construire, pour prévoir les variations de la somme).
– Caractérisation des
éléments de D et de Q, soit en terme de développement décimal fini ou
périodique, soit comme quotient irréductible d'entiers (le dénominateur étant
ou non de la forme 2p x 5q)
– Fonction affine par
morceaux conforme à un tableau de variation ou un tableau de valeurs et
problèmes d'interpolation linéaire.
– À l'aide d'un traceur
de courbes, ajustement fonctionnel d'un tableau de valeurs (issues du champ
de la physique, de l'économie… ou reprise d'un problème important dans
l'histoire des sciences). On pourra observer que les solutions sont diverses,
proposer de se limiter à tel ou tel type de fonctions et s'interroger sur ce
que pourrait signifier l'expression « cette solution est
"meilleure" que telle autre ». À propos d'ajustement linéaire,
on réfléchira sur le fait que la description affine de y à partir de x
n'implique pas de causalité entre x et y.
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Géométrie
– Patrons de pyramides
non régulières.
– Repérage sur la sphère
; application à la géographie, à l'astronomie.
– Exemple de pavages
périodiques du plan.
– Les solides de Platon.
– Exemples de
démonstrations classiques par les aires : théorème de Pythagore,
théorème de Thalès...
– Représenter en
perspective cavalière et en vraie grandeur une section plane d'un solide de
référence dans des cas simples.
– Reconstitution d'un
objet à partir de trois vues.
– Reconstitution d'un
objet à partir d'une suite de coupes parallèles.
– Empilement de boules et
cylindres de même diamètre.
– Exemples de réseaux
dans le plan et l'espace (description, exemple des cristaux...).
– Puzzle 3D
(décomposition d'un cube…).
– Projections
orthogonales d'une sphère ou d'un disque sur un plan.
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, 
.
et de 
.