Chacun des repères indiqués dans ce problème est orthonormal et l’unité est un centimètre.

La fonction partie entière, notée E, est définie pour tout réel x de la façon suivante : E(x) est l’entier relatif immédiatement inférieur ou égal à x. Par exemple .

Etude de la fonction partie entière

1°    Calculer

2°    Comparer E(x), x et E(x)+1 pour tout x réel.

3°    Comparer E(x+1) et E(x)+1.

4°    Définir E(x) pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1[.

5°    Représenter E pour tout x réel dans le repère .

6°    Résoudre graphiquement les équations suivantes :

.

Partie entière d’une fonction

1°    Dans le repère , représenter les fonctions définies pour tout réel x par  et .

2°    Procéder de même pour représenter les fonctions définies par , respectivement dans les repères  et .

3°    Dans le repère , représenter f et g définies pour tout réel x par  et .

       Résoudre graphiquement l’équation .

4°    Définir, pour tout x réel, la fonction définie par . Représenter cette fonction dans le repère .

       Quelle est la particularité de cette fonction ?

5°    Soit h la fonction définie par .

a)    Montrer que h est périodique de période 2.

b)    Définir h sur l’intervalle [0 ; 2[.

Représenter h dans le repère .

Etude de la fonction m définie par m(x)=x-E(x)

1°    Montrer que m est périodique de période 1.

2°    Définir m sur l’intervalle [0 ;1[, puis représenter m, pour tout x réel, dans le repère .

3°    Définir le plus grand intervalle sur lequel m a même restriction que la fonction définie par .

4°    Résoudre graphiquement les équations .

5°    Par le calcul et à l’aide d’une représentation graphique, déterminer les solutions de l’équation .

6°    Soit n un entier strictement positif. Résoudre l’équation .