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Waclaw Sierpinski est né le 20 août 1882 à Varsovie en Pologne. Il est mort le 14 mai 1969 dans cette même ville. Professeur à l’université de Moscou puis de Varsovie il est l’auteur de 50 livres et de plus de 700 publications. Il a contribué au développement de la théorie des ensembles (axiome du choix, hypothèse du continu). Ses études d’une courbe qui passe par tous les points intérieurs à un carré et d’un tapis d’aire nulle de périmètre infini sont très connues.
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On obtient le « tapis » de Sierpinski en partant d’un carré. On le subdivise en 9 carrés de même taille et on supprime le carré central. On répète l’opération sur les huit carrés restant et ainsi de suite « à l’infini »
On désigne par Sn l’aire de la figure Fn. Quelle est la limite de la suite Sn lorsque n tend vers l’infini ?
Solution :
Soit 1 l’aire du carré de départ.
A partir de la figure F1 le nombre de
« nouveaux » trous que l’on rajoute à chaque stade est la suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 8.
L’aire des trous que l’on ajoute est égale à 
de l’aire de ceux
percés au stade précédent (suite géométrique de raison 
). L’aire de la
figure Fn se calcule par : 
On reconnaît dans la parenthèse la somme de n termes de la
suite géométrique de premier terme 
et de raison 
. En montrant qu’à chaque stade on retire 
de l’aire qui reste
on peut aboutir directement à ce résultat.