I -    Soit une droite (D) et un point A non situé sur (D). On se propose de trouver l'ensemble (P) des points M équidistants de A et de (D).

       Dans un repère orthonormal  (unité : 2 cm), on considère la droite (D) d'équation  et le point A. M(x ; y) est un point quelconque du plan, H est le projeté orthogonal de M sur (D).

1°    Calculer MH et MA en fonction de x et y.

2°    Déterminer une relation entre x et y quand M est équidistant de A et (D). Quelle est l’ensemble (P) de ces points M ?

3°    Construire (P) dans .

II - Dans un repère orthonormal  (unité : 1 cm), on considère le point A. H est un point de l’axe des abscisses de coordonnées (x ; 0). K est le point de l’axe des ordonnées tel que le triangle AHK soit rectangle en H. M est le point se projetant orthogonalement en H et K sur les axes.

1°    Quelle relation vérifient les coordonnées (x ; y) de M.

2°    Construire dans  la parabole représentant l’ensemble de ces points M.

III -   Dans un repère orthonormal  (unité : 1 cm), on considère les points I(1 ; 0), J(0 ; 1) et H(x ; 0). K est le point d’intersection de la parallèle à (IJ) passant par H avec l’axe des ordonnées. L est le point d’intersection de la parallèle à (IK) passant par H avec l’axe des ordonnées. M est le point se projetant orthogonalement en H et L sur les axes.

       Reprendre les questions du II.

IV -  Dans un repère orthonormal  (unité : 1 cm), on considère les points A(2 ; 0) et H(x ; 0) avec x>0, (D) la perpendiculaire en A à l’axe des abscisses, (D’) la perpendiculaire en H à l’axe des abscisses.

1°    K est le point de (D) d’abscisse positive tel que OH = AK. La droite (OK) coupe (D’) en M.

       Trouver la relation que vérifient les coordonnées (x ; y) de M. En déduire que l’ensemble des points M ainsi construits est une demi parabole.

Construire la parabole complète en utilisant une symétrie appropriée.

2°    K’ est le symétrique de K par rapport à A. La droite (OK’) coupe (D’) en N.

       Reprendre le 1° en remplaçant M par N.

3°    Utiliser cette méthode pour construire la parabole d’équation .