I -    Dans un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x centimètres de côté. En relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle avec la feuille ainsi découpée.

1°    Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?

2°    Déterminer le volume V(x) de la boîte ainsi obtenue en fonction de x.

3°    Étudier les variations de V sur l’intervalle [0 ; 6].

       Représenter V dans un repère orthogonal  (unités : en abscisse, 1 cm pour 0,5 et en ordonnée, 1 cm pour 10).

       En déduire la valeur de x qui rend le volume maximal. Quel est ce volume maximal et quelles sont alors les dimensions de la boîte ?

II -                   

-  Partie A -

On considère la fonction f définie pour tout réel par . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal  (un centimètre représente 2 unités en abscisse et 100 unités en ordonnée).

1°    Déterminer les limites de f en  et en .

2°    Étudier les variations de f.

3°    Représenter f dans le repère .

4°    Montrer que le point I(10 ; 500) est centre de symétrie pour C.

- Partie B –

La figure 1 est le patron d'un parallélépipède représenté sur la figure 2.        

1°    Déterminer l'intervalle I, ensemble des valeurs possibles de x.

2°    Calculer en fonction de x le volume V(x) du parallélépipède.

3°    Pour quelle valeur de x ce volume est-il maximal ?

       Donner la valeur correspondante de V(x).

4°    Quelle valeur de x faut-il choisir pour obtenir une boîte de 500 cm³, sachant qu'aucune dimension de la boîte ne doit être inférieure à 3 cm.