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La construction
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Soit un cercle (C) de
centre O et de rayon 1, [II'] et [JJ'] deux diamètres perpendiculaires et H
le milieu du segment [J’O]. Construire un cercle de centre H et de rayon
HI ; ce cercle coupe [OJ] en un point K. Construire un cercle de centre
I et de rayon IK ; il coupe le cercle (C) en deux points M et Q (M sur
l'arc |
). Construire un cercle de centre M et de rayon IM. Il
recoupe (C) en N. Faire de même à partir de Q : on obtient le point P.Que représente IMNPQ ?
On se propose de calculer la
mesure principale a en radians de l’angle 
, puis de montrer que IMNPQ est un pentagone régulier.
Soit L le projeté orthogonal de M sur la droite (II’).
1° Calculer successivement HK, IM et OL. En déduire cos a.
2° Calculer cos 2a et cos 3a.
3° Résoudre l’équation cos 3x=cos 2x.
4° En déduire la mesure principale a de l'angle 
.
5° Quelle est la nature du polygone IMNPQ ?
6° Prolongement :
a) Montrer que tout diamètre passant par un sommet du pentagone est axe de symétrie pour ce pentagone.
b) Soit
le vecteur défini par
.
Montrer
que 
est à la fois
colinéaire à 
et 
. En déduire que 
.
c) Quelles sont les coordonnées des sommets de ce pentagone ?
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