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Prévoir le temps du lendemain
Imaginons qu’il pleuve aujourd’hui quel temps fera-t-il demain ?
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L’arbre ci contre nous donne immédiatement la réponse à savoir :
- P(P) = ½. - P(B) = ¼. - P(N) = ¼.
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Remarquons que ce
résultat correspond à la première ligne de la matrice de transition et peut
être obtenu par le produit matriciel : 
Prévoir le temps du surlendemain
L’arbre ci-dessous nous apporte la réponse :
D’après cet arbre, il est clair que le temps du surlendemain est donné par les probabilités
Comme précédemment nous constatons que le vecteur de probabilité du temps du surlendemain est :
Et par conséquent : 
Nous pouvons également interpréter la matrice 
à l’aide d’un graphe probabiliste permettant de déterminer le
temps à échéance de 2 jours :
Ce graphe donne l’évolution du temps 2 jours après le temps
actuel. Ainsi, s’il fait beau, la probabilité qu’il fasse beau le surlendemain
est égale à 
soit 
.
Ce résultat se généralise facilement et nous pouvons énoncer :
Théorème 1
Soit une chaîne de Markov
à n états définis par 
. Si P est la matrice de transition de la chaîne alors
le coefficient 
de la matrice 
est la probabilité
que le processus atteigne l’état 
après n
étapes, sachant qu’il a démarré à l’état 
.