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A titre d’information voici les premières puissances de la matrice P :
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Puissance n |
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Valeur approchée
de |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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Il est intéressant de remarquer ici que les puissances de P
semblent converger « rapidement » vers une matrice limite qui semble
être : 
Cette matrice a toutes ses lignes identiques, ou ce qui revient au même, ses colonnes constantes. En termes de graphes la situation limite se traduit par le graphe ci-dessous :
1/5
Une propriété très intéressante de cette matrice limite est :
Donc si 
est un vecteur de
probabilité (donc lorsque 
) on obtient :
On peut donc estimer (à condition que les puissances de P convergent) qu’au bout d’un certain temps (somme toute fort court d’après les calculs déjà effectués) qu’un état stable sera atteint quelle que soit la situation de départ. Ainsi les météorologues du pays d’Oz peuvent faire des prévisions à longue échéance…
- Dans 10 jours ou 100 ou 1 000 il y a deux chances sur 5 qu’il pleuve ou qu’il neige et une chance sur 5 qu’il fasse beau.
- Cette année (au pays d’Oz l’année compte 1 000 jours) nous aurons probablement 400 jours de pluie, 400 jours de neige et 200 jours de beau temps.
La suite du document se propose de démontrer quelques résultats fondamentaux sur les chaînes de Markov.