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Un lemme
Alors ;
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une matrice
carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont strictement positifs et
tels que la somme des coefficients d’une ligne soit égale à 1.
la plus petite
entrée de cette matrice.
et 
et 
Démonstration :
Puisque 
Nous pouvons
interpréter chaque 
comme la moyenne,
pondérée par les coefficients 
, des nombres 
. De plus l’un au moins des nombres 
(par exemple celui de
rang de p) est égal à 
et donc : 
inégalité obtenue en
majorant tous les 
(sauf 
) par 
.
D’où : 
.
Or 
et : 
et finalement 
ou encore :
(1)
D’une manière analogue on
démontre que : 
(2)
Les inégalités (1) et (2)
sont en particulier vérifiées pour le plus petit et plus grand 
c’est à dire 
. Par conséquent :
Le lemme est ainsi démontré.
Le théorème fondamental
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Si P est la matrice de
transition d’une chaîne de Markov régulière (c’est à dire dont tous les
coefficients sont strictement positifs), alors |
, W étant une matrice ayant toutes ses lignes
identiques (ou ce qui revient au même toutes ses colonnes constantes).Remarque : Le théorème reste valable pour des matrices non régulières mais dont l’une au moins des puissances est régulière.
Démonstration
Supposons que les états du processus soient : 
. Lorsque n=1, le théorème est trivial et nous
supposerons 
. Soit y un vecteur colonne 
. Soient 
et 
la plus grande (resp. la plus petite) des valeurs du vecteur 
. 
est obtenu par 
ou encore :
Puisque P est une matrice de transition, tous ses
coefficients sont positifs et la somme d’une ligne de P est égale à 1
(car il s’agit d’une loi de probabilité sur l’ensemble des états). Ainsi, comme
dans le lemme précédent, nous pouvons interpréter chaque coefficient de 
comme une moyenne
pondérée des 
. Cette moyenne est nécessairement comprise entre
et 
puisque les
coefficients de P sont positifs. On en déduit donc :
. On a également : 
La suite 
étant décroissante et
minorée par 0 sera convergente.
De même la suite 
étant croissante majorée
par 
sera convergente.
On notant 
.
Montrons maintenant que M=m. Cette affirmation
résulte directement du lemme précédent. En effet : 
.
Dans la mesure ou 
(n étant
l’ordre de la matrice P), nous aurons nécessairement 
car dans le cas
contraire, d étant le plus petit élément de P, la somme d’une
ligne de P serait supérieure à 1. D’autre part la matrice P étant
supposée régulière, nous avons 
. est alors clair que : 
et donc : 
ce qui achève la
démonstration.
Remarquons pour terminer que chaque composante de 
étant comprise entre 
, la limite 
est un vecteur dont toutes les composantes sont égales à m
(ou M). De plus en choisissant au départ, un vecteur y dont la ième des composantes est égale à 1 et les autres
égales à 0, alors 
sera la ième colonne de 
. Ceci prouve que toutes les colonnes de 
tendent vers un
vecteur dont toutes les composantes sont identiques.